Задача 297: Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей (рис. 5.6, 5.7) определите, сколько можно провести различных прямых, касающихся обеих окружностей.

Рассмотрим различные случаи взаимного расположения двух окружностей и определим количество общих касательных для каждого случая: 1. Окружности не пересекаются и не вложены друг в друга (внешнее расположение): В этом случае можно провести 4 общие касательные. Две из них будут внешними касательными, а две – внутренними. 2. Окружности касаются внешним образом: В этом случае можно провести 3 общие касательные. Одна из них проходит через точку касания окружностей, а две другие – внешние. 3. Окружности пересекаются: В этом случае можно провести 2 общие касательные (внешние). Внутренних касательных нет, так как они должны были бы пересекать окружности. 4. Окружности касаются внутренним образом: В этом случае можно провести 1 общую касательную, проходящую через точку касания. 5. Одна окружность находится внутри другой (вложенные окружности) и не касаются: В этом случае общих касательных провести невозможно. 6. Окружности совпадают (одна и та же окружность): В этом случае нельзя провести общую касательную в обычном смысле, так как любая касательная к окружности будет касательной к обеим окружностям. Таким образом, количество общих касательных зависит от взаимного расположения окружностей.