Задача 8. Дополнительное задание. К четырёхзначному натуральному числу, все цифры которого различны, применяется следующий алгоритм: 1) Найти сумму трёх самых больших по значению цифр числа. 2) Вычесть из полученной суммы наименьшую по значению цифру числа. Укажите наименьшее четырёхзначное число, все цифры которого различны, такое что в результате применения к нему данного алгоритма получится число 16.

Решение: Пусть число ABCD, где A, B, C, D - различные цифры. 1. Находим сумму трех наибольших цифр. 2. Вычитаем наименьшую цифру, получаем 16. Наименьшее четырёхзначное число, все цифры которого различны - это 1023. Сумма трех наибольших цифр: 3 + 2 + 1 = 6 Наименьшая цифра: 0 6 - 0 = 6 ≠ 16 Нам нужно найти такое число, чтобы сумма трех наибольших цифр минус наименьшая равнялась 16. Пусть x, y, z - три наибольшие цифры, а m - наименьшая. x + y + z - m = 16 Попробуем подобрать числа. Наименьшее четырехзначное число, у которого все цифры разные, начинается с 1023. Попробуем его изменить. У нас сумма трех наибольших цифр минус наименьшая должна быть равна 16. Поскольку надо найти наименьшее число, то наименьшая цифра m должна быть как можно меньше. Если m = 0, то x + y + z = 16. Чтобы получить наименьшее число, нужно чтобы тысячи были наименьшими. Попробуем начать с 1. Тогда мы должны составить число так, чтобы три самые большие цифры в сумме дали 16, а 0 была самой маленькой. Нам нужна цифра 1 в разряде тысяч, 0 - в разряде сотен. Тогда число 10yz. Чтобы y и z были как можно меньше, то они должны быть такими, чтобы сумма y + z была максимальной, при условии что третья цифра будет больше чем две другие, и чтобы их сумма равнялась 16. Если третья цифра 9. Тогда 16 - 9 = 7. yz это 07. не подходит. Чтобы была цифра 1 нужна еще одна чтобы была семь. Т.е. 7+0 = 7. Т.е. число будет 1790 Проверяем: Число 1790. Три самые большие цифры 9, 7, 1, в сумме дают 9 + 7 + 1 = 17. 17 - 0 = 17 ≠ 16 Если третья цифра 8, тогда 16 - 8 = 8. yz это 08. не подходит. Попробуем 8080. не подходит. Если третья цифра 7, тогда 16 - 7 = 9. yz это 09. не подходит. Но если использовать цифру 1 в разряде тысяч: 1960 Проверяем. Число 1960. Три самые большие цифры 9, 6, 1, в сумме дают 9 + 6 + 1 = 16. 16 - 0 = 16 Ответ: 1690