Задача №1: Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяженностью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 5 минут. Найдите скорости гонщиков, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 30 минут после старта. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть $$v_1$$ - скорость первого гонщика, $$v_2$$ - скорость второго гонщика (в км/ч). 1. Первый гонщик обогнал второго на круг (4 км) за 30 минут (0.5 часа). Тогда: $$v_1 * 0.5 - v_2 * 0.5 = 4$$ $$0.5(v_1 - v_2) = 4$$ $$v_1 - v_2 = 8$$ (1) 2. Оба гонщика проехали 22 круга, но первый пришел к финишу на 5 минут (5/60 = 1/12 часа) раньше второго. Время первого: $$t_1 = \frac{22 * 4}{v_1} = \frac{88}{v_1}$$ Время второго: $$t_2 = \frac{22 * 4}{v_2} = \frac{88}{v_2}$$ Разница во времени: $$t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$$ $$\frac{88}{v_2} - \frac{88}{v_1} = \frac{1}{12}$$ (2) 3. Решим систему уравнений: (1) $$v_1 - v_2 = 8$$ (2) $$\frac{88}{v_2} - \frac{88}{v_1} = \frac{1}{12}$$ Выразим $$v_1$$ из (1): $$v_1 = v_2 + 8$$ Подставим в (2): $$\frac{88}{v_2} - \frac{88}{v_2 + 8} = \frac{1}{12}$$ $$88(\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_2 + 8}) = \frac{1}{12}$$ $$88(\frac{v_2 + 8 - v_2}{v_2(v_2 + 8)}) = \frac{1}{12}$$ $$88 * 8 = \frac{v_2(v_2 + 8)}{12}$$ $$704 * 12 = v_2^2 + 8v_2$$ $$8448 = v_2^2 + 8v_2$$ $$v_2^2 + 8v_2 - 8448 = 0$$ 4. Решим квадратное уравнение: $$D = 8^2 - 4 * 1 * (-8448) = 64 + 33792 = 33856$$ $$\sqrt{D} = 184$$ $$v_2 = \frac{-8 \pm 184}{2}$$ $$v_{2_1} = \frac{-8 + 184}{2} = \frac{176}{2} = 88$$ $$v_{2_2} = \frac{-8 - 184}{2} = \frac{-192}{2} = -96$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) $$v_2 = 88$$ км/ч 5. Найдем $$v_1$$: $$v_1 = v_2 + 8 = 88 + 8 = 96$$ км/ч Ответ: Скорость первого гонщика: **96 км/ч** Скорость второго гонщика: **88 км/ч**