Задача 15: Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик?

Пусть $$x$$ м² плитки в день укладывает второй каменщик. Тогда первый каменщик укладывает $$x + 7$$ м² плитки в день. Время, которое тратит второй каменщик на укладку плитки: $$\frac{420}{x}$$ дней. Время, которое тратит первый каменщик на укладку плитки: $$\frac{420}{x+7}$$ дней. Из условия задачи известно, что первый каменщик выполняет работу на 5 дней быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\frac{420}{x} - \frac{420}{x+7} = 5$$ Умножим обе части уравнения на $$x(x+7)$$: $$420(x+7) - 420x = 5x(x+7)$$ $$420x + 2940 - 420x = 5x^2 + 35x$$ $$5x^2 + 35x - 2940 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 5: $$x^2 + 7x - 588 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-588) = 49 + 2352 = 2401$$ $$\sqrt{D} = 49$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 49}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 49}{2} = \frac{-56}{2} = -28$$ Так как количество плитки не может быть отрицательным, то $$x = 21$$ м². Тогда первый каменщик укладывает $$x + 7 = 21 + 7 = 28$$ м² плитки в день. Ответ: 28