Задача 13. Две окружности вписаны в угол величиной 60°. Как относятся их радиусы, если одна проходит через центр другой?

Рассмотрим решение задачи 13: Пусть у нас есть угол величиной 60°. В этот угол вписаны две окружности. Одна из окружностей проходит через центр другой. Нам нужно найти отношение их радиусов. 1. Введем обозначения: * Пусть меньшая окружность имеет радиус $$r$$ и центр в точке $$O_1$$. * Большая окружность имеет радиус $$R$$ и центр в точке $$O_2$$. * Так как меньшая окружность проходит через центр большей, то расстояние между центрами равно радиусу меньшей окружности: $$O_1O_2 = r$$. 2. Рассмотрим треугольник, образованный центрами окружностей и вершиной угла: * Опустим перпендикуляры из центров окружностей на одну из сторон угла. Получим два прямоугольных треугольника. * Рассмотрим треугольник, образованный вершиной угла (назовем её $$A$$), центром меньшей окружности ($$O_1$$) и основанием перпендикуляра, опущенного из $$O_1$$ на сторону угла (назовем это основание $$H_1$$). $$\triangle A O_1 H_1$$ - прямоугольный, и $$\angle H_1 A O_1 = 30^\circ$$ (так как $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла в 60°). * Аналогично, $$\triangle A O_2 H_2$$ - прямоугольный, и $$\angle H_2 A O_2 = 30^\circ$$. 3. Найдем связь между радиусами: * В прямоугольном треугольнике $$\triangle A O_1 H_1$$: $$\sin(30^\circ) = \frac{O_1 H_1}{A O_1} = \frac{r}{A O_1}$$. Отсюда, $$A O_1 = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = 2r$$. * В прямоугольном треугольнике $$\triangle A O_2 H_2$$: $$\sin(30^\circ) = \frac{O_2 H_2}{A O_2} = \frac{R}{A O_2}$$. Отсюда, $$A O_2 = \frac{R}{\sin(30^\circ)} = 2R$$. * Заметим, что точки $$A$$, $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на одной прямой (биссектрисе угла). Следовательно, $$A O_2 = A O_1 + O_1 O_2$$. * Подставим найденные значения: $$2R = 2r + r$$. Таким образом, $$2R = 3r$$. * Отсюда, отношение радиусов $$\frac{R}{r} = \frac{3}{2}$$. Ответ: Радиус большей окружности в 1.5 раза больше радиуса меньшей окружности.