Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза;

Решение:

Используем формулу Бернулли для расчета вероятности. В данном случае:

• n = 10 (количество бросков)
• m = 3 (количество выпадений герба)
• p = 1/2 = 0.5 (вероятность выпадения герба при одном броске)
• q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5 (вероятность не выпадения герба)

Формула Бернулли имеет вид:

$$P = C_n^m p^m (1-p)^{n-m}$$

где ( C_n^m ) - это количество сочетаний из n по m, которое вычисляется как:

$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

В нашем случае:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$$

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

$$P = 120 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{10-3} = 120 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^7 = 120 \cdot (0.5)^{10}$$ $$P = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128}$$

Вычислим значение:

$$P \approx 0.1171875$$

Ответ: Вероятность того, что герб выпадет 3 раза из 10, составляет примерно 0.117.