Задача 4. Используя несколько ненулевых цифр, составили всевозможные двухзначные числа. Докажите, что сумма всех этих двухзначных чисел делится на 11.

Краткое пояснение

Разбираемся: Пусть даны цифры a₁, a₂, ..., aₙ. Тогда можно составить n² двухзначных чисел, где в разряде десятков и единиц могут быть любые из данных цифр. Сумма всех этих чисел будет равна: S = (10a₁ + a₁) + (10a₁ + a₂) + ... + (10a₁ + aₙ) + (10a₂ + a₁) + (10a₂ + a₂) + ... + (10a₂ + aₙ) + ... + (10aₙ + a₁) + (10aₙ + a₂) + ... + (10aₙ + aₙ) S = 10(a₁ + a₁ + ... + a₁) + (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + 10(a₂ + a₂ + ... + a₂) + (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + ... + 10(aₙ + aₙ + ... + aₙ) + (a₁ + a₂ + ... + aₙ) S = 10n(a₁ + a₂ + ... + aₙ) + n(a₁ + a₂ + ... + aₙ) S = 11n(a₁ + a₂ + ... + aₙ) Так как S делится на 11, то сумма всех этих двухзначных чисел делится на 11.

Проверка за 10 секунд: Сумма делится на 11, так как содержит множитель 11.

Доп. профит: Читерский прием. Общая формула помогает быстро доказать делимость.