Задача 5. Можно ли в клетках таблицы 4х4 записать все целые числа от 1 до 16 по одному разу так, чтобы произведение чисел в любом квадрате была одна и та же.

Краткое пояснение

Логика такая: Предположим, что такое размещение возможно, и произведение чисел в каждом квадрате 2x2 равно P. Разделим таблицу 4x4 на четыре квадрата 2x2. Произведение чисел во всей таблице будет равно P⁴. С другой стороны, произведение чисел от 1 до 16 равно 16! Таким образом, должно выполняться равенство P⁴ = 16! Однако 16! не является четвертой степенью целого числа. Это можно показать, разложив 16! на простые множители: 16! = 2¹⁵ * 3⁶ * 5³ * 7² * 11 * 13 Для того чтобы число было четвертой степенью, все показатели в разложении на простые множители должны быть кратны 4. В данном случае это не так (например, показатель степени числа 2 равен 15, что не кратно 4). Следовательно, не существует такого целого числа P, чтобы P⁴ = 16!, и такое размещение невозможно.

Проверка за 10 секунд: 16! не является четвертой степенью.

Доп. профит: Запомни, что разложение на простые множители помогает анализировать делимость.