Задача 15: Из деревни в сторону железнодорожной станции одновременно отправились пешеход и велосипедист. Когда велосипедист доехал до станции, он повернул обратно и прибыл в деревню ровно в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. Найдите расстояние от деревни до железнодорожной станции, если на обратном пути велосипедист встретил пешехода, когда тому оставалось дойти до станции 8 км. Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть расстояние от деревни до станции равно \(S\). Когда велосипедист доехал до станции и поехал обратно, он встретил пешехода на расстоянии 8 км от станции. Это означает, что пешеход прошёл расстояние \(S - 8\). К моменту встречи велосипедист проехал расстояние \(S + (S - 8) = 2S - 8\). Поскольку пешеход и велосипедист вышли одновременно и прибыли в конечные точки одновременно, время в пути у них одинаковое. Отношение расстояний равно отношению скоростей: \(\frac{2S - 8}{S - 8} = \frac{S}{8}\) Решаем уравнение: \(8(2S - 8) = S(S - 8)\) \(16S - 64 = S^2 - 8S\) \(S^2 - 24S + 64 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 576 - 256 = 320\) \(S_1 = \frac{24 + \sqrt{320}}{2} = \frac{24 + 8\sqrt{5}}{2} = 12 + 4\sqrt{5}\) \(S_2 = \frac{24 - \sqrt{320}}{2} = \frac{24 - 8\sqrt{5}}{2} = 12 - 4\sqrt{5}\) Так как \(4\sqrt{5} \approx 8.94\), то \(S_2 \approx 12 - 8.94 = 3.06\). Это значение меньше 8 км, что невозможно, так как пешеход прошёл \(S - 8\) км до встречи. Значит, \(S_2\) не подходит. \(S_1 = 12 + 4\sqrt{5} \approx 12 + 8.94 = 20.94\) Округляем до целого числа, получаем 21 км. Ответ: Расстояние от деревни до станции примерно 21 км. **Разъяснение:** 1. **Вводим переменную:** Обозначаем расстояние от деревни до станции как \(S\). 2. **Расстояние, пройденное пешеходом до встречи:** Когда велосипедист возвращался, он встретил пешехода в 8 км от станции. Значит, пешеход прошёл расстояние \(S - 8\). 3. **Расстояние, пройденное велосипедистом до встречи:** Велосипедист проехал до станции \(S\), а затем обратно \(S - 8\), то есть всего \(2S - 8\). 4. **Отношение скоростей:** Время движения у пешехода и велосипедиста одинаковое, поэтому отношение пройденных расстояний равно отношению их скоростей. 5. **Составляем уравнение:** На основе отношения расстояний получаем уравнение \(\frac{2S - 8}{S - 8} = \frac{S}{8}\). 6. **Решаем уравнение:** Решаем квадратное уравнение и находим два значения для \(S\). Отбрасываем неподходящий корень, так как расстояние не может быть меньше 8 км. 7. **Округляем ответ:** Получаем приблизительное расстояние от деревни до станции.