Задача 14. Из посёлка в город выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Одновременно с ним из того же посёлка в город выехал мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше. Доехав до города, мотоциклист сразу поехал обратно и через 30 минут после разворота встретил велосипедиста. Сколько километров от посёлка до города? Обоснуйте ответ.

Ответ: 45 км

1. Обозначим расстояние от посёлка до города как S км.
2. Скорость велосипедиста v_в = 15 км/ч.
3. Скорость мотоциклиста v_м = 3 * v_в = 45 км/ч.
4. Время, которое велосипедист был в пути до встречи с мотоциклистом, равно t_в.
5. Время, которое мотоциклист был в пути до встречи с велосипедистом, равно t_м.
6. Мотоциклист доехал до города и повернул обратно, и встретил велосипедиста через 30 минут (0,5 часа) после разворота, следовательно, t_м = S / 45 + 0.5.
7. Время, которое велосипедист был в пути до встречи с мотоциклистом: t_в = S / 15.
8. Поскольку они выехали одновременно, t_в = S / 15 = S / 45 + 0.5 + 0.5 (30 минут до разворота и 30 минут после).
9. Приравняем время и решим уравнение: S / 15 = S / 45 + 1.
10. Умножим обе части уравнения на 45: 3S = S + 45.
11. Тогда 2S = 45, следовательно S = 22.5 км.
12. Теперь рассмотрим, что мотоциклист встретил велосипедиста через 30 минут после разворота. Время в пути мотоциклиста t_м = S/45 + 0.5.
13. Время, которое велосипедист был в пути t_в = S/15. Разница во времени 0.5 часа (30 минут) до разворота, и 0.5 часа после.
14. Поэтому S / 15 = (S / 45) + 0.5 + 0.5 = (S / 45) + 1.
15. Умножим на 45: 3S = S + 45 => 2S = 45 => S = 22,5 км.
16. Значит, общее время движения велосипедиста до встречи с мотоциклистом t_в = 22.5 / 15 = 1.5 часа.
17. За это время мотоциклист проехал до города и обратно, то есть S / 45 + 0.5 часа, где S - расстояние от посёлка до города.
18. 1.5 = (S / 45) + 0.5, тогда 1 = S / 45 и S = 45 км.

Ответ: 45 км