Задача 2. Катер проплывает 90 км по течению за то же самое время, что 70 км против течения. Какое расстояние за это же время сможет проплыть плот?

Пусть (v_k) - скорость катера в стоячей воде, а (v_t) - скорость течения.

Время, за которое катер проплывает 90 км по течению, равно (\frac{90}{v_k + v_t}\).

Время, за которое катер проплывает 70 км против течения, равно (\frac{70}{v_k - v_t}\).

По условию эти времена равны, поэтому:

$$ \frac{90}{v_k + v_t} = \frac{70}{v_k - v_t} $$

Упростим уравнение:

$$ 90(v_k - v_t) = 70(v_k + v_t) $$ $$ 90v_k - 90v_t = 70v_k + 70v_t $$ $$ 20v_k = 160v_t $$ $$ v_k = 8v_t $$

Теперь найдем время, которое катер тратит на путь по течению (или против течения, так как время одинаковое):

$$ t = \frac{90}{v_k + v_t} = \frac{90}{8v_t + v_t} = \frac{90}{9v_t} = \frac{10}{v_t} $$

Плот плывет со скоростью течения, то есть его скорость равна (v_t). За время (t) плот проплывет расстояние:

$$ S = v_t \cdot t = v_t \cdot \frac{10}{v_t} = 10 $$

Ответ: 10 км