Задача 3. Вниз по Волге. От Нижнего Новгорода до Астрахани пароход идет 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Пусть (S) - расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани, (v_p) - скорость парохода в стоячей воде, (v_t) - скорость течения реки.

Когда пароход плывет по течению (из Нижнего Новгорода в Астрахань), его скорость равна (v_p + v_t). Время в пути - 5 суток.

Когда пароход плывет против течения (из Астрахани в Нижний Новгород), его скорость равна (v_p - v_t). Время в пути - 7 суток.

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} S = 5(v_p + v_t) \\ S = 7(v_p - v_t) \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений:

$$ 5(v_p + v_t) = 7(v_p - v_t) $$ $$ 5v_p + 5v_t = 7v_p - 7v_t $$ $$ 12v_t = 2v_p $$ $$ v_p = 6v_t $$

Теперь выразим расстояние (S) через скорость течения:

$$ S = 5(v_p + v_t) = 5(6v_t + v_t) = 5(7v_t) = 35v_t $$

Плот плывет со скоростью течения (v_t). Время, которое потребуется плоту, чтобы проплыть расстояние (S), равно:

$$ t = \frac{S}{v_t} = \frac{35v_t}{v_t} = 35 $$

Ответ: 35 суток