Задача 13: Коля задумал двузначное число. Затем он нашёл сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записал сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 1235. Какое число задумал Коля? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Объясните решение.

Решение: Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{ab}\), где \(a\) и \(b\) - цифры от 0 до 9. Сумма цифр равна \(a + b\), а произведение цифр равно \(a \cdot b\). По условию, сумма и произведение цифр, записанные рядом, образуют число 1235. Значит, либо \(a + b = 12\) и \(a \cdot b = 35\), либо \(a + b = 123\) и \(a \cdot b = 5\), либо \(a + b = 1\) и \(a \cdot b = 235\), либо \(a + b = 1235\). 1. Случай \(a + b = 12\) и \(a \cdot b = 35\). Подберем такие цифры \(a\) и \(b\). Возможные варианты для произведения 35: \(5 \cdot 7 = 35\). Проверим их сумму: \(5 + 7 = 12\). Значит, числа 5 и 7 подходят. Таким образом, Коля мог задумать числа 57 или 75. 2. Случай \(a + b = 123\) и \(a \cdot b = 5\). Сумма двух цифр не может быть равна 123, так как максимальная сумма двух цифр равна \(9 + 9 = 18\). Значит, этот случай невозможен. 3. Случай \(a + b = 1\) и \(a \cdot b = 235\). Сумма двух цифр не может быть равна 1, так как цифры от 0 до 9. 4. Случай \(a + b = 1235\). Сумма двух цифр не может быть равна 1235, так как максимальная сумма двух цифр равна \(9 + 9 = 18\). Значит, этот случай невозможен. Итак, Коля мог задумать числа 57 или 75. Проверим: * Для числа 57: \(5 + 7 = 12\), \(5 \cdot 7 = 35\). Записываем рядом: 1235. Подходит. * Для числа 75: \(7 + 5 = 12\), \(7 \cdot 5 = 35\). Записываем рядом: 1235. Подходит. Ответ: Коля задумал числа **57** или **75**.