Задача 11: Медиана прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла C, равна 6.5. Найдите площадь треугольника ABC, если \(\cos \angle B = \frac{5}{13}\)

Пусть CM - медиана прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла C. Тогда CM = AM = BM = 6.5. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Так как CM - медиана, проведенная к гипотенузе, то \(c = 2 cdot CM = 2 cdot 6.5 = 13\). Дано \(\cos \angle B = \frac{5}{13}\). В прямоугольном треугольнике ABC, \(\cos \angle B = \frac{a}{c}\). Следовательно, \(\frac{a}{13} = \frac{5}{13}\), откуда \(a = 5\). По теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\), то есть \(5^2 + b^2 = 13^2\), \(25 + b^2 = 169\), \(b^2 = 144\), \(b = 12\). Площадь прямоугольного треугольника ABC равна \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} cdot 5 cdot 12 = 30\). **Ответ: 30**