Задача 12: В основании треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник ABC. Точка O - центр треугольника ABC. Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых: 1) прямые SA и BC 2) прямые SA и BE 3) прямые AB и SE 4) прямые SB и CA В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Поскольку SO перпендикулярен плоскости ABC, то SO перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как треугольник ABC равносторонний, то его центр O является также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Пусть BE - медиана, высота и биссектриса, проведенная из вершины B к стороне AC. Тогда AC перпендикулярна BE. Рассмотрим прямую SA и BC. Поскольку SO перпендикулярна плоскости ABC, то SO перпендикулярна BC. Также, поскольку треугольник ABC равносторонний, медиана BE является также высотой. Если SA перпендикулярна BC, то это может быть только при определенных условиях. Рассмотрим прямую SA и BE. BE лежит в плоскости ABC, SO перпендикулярен плоскости ABC. Рассмотрим прямые AB и SE. SE лежит в плоскости SBC. Рассмотрим прямые SB и CA. Аналогично первому варианту. Если SO перпендикулярно плоскости основания, а ABC - равносторонний треугольник, то проекция SA на плоскость ABC - это OA. Тогда необходимо, чтобы OA была перпендикулярна BC для того, чтобы SA и BC были перпендикулярны. Но это не так. В правильной пирамиде основание - равносторонний треугольник ABC. Отрезок SO перпендикулярен плоскости ABC. Значит, SO перпендикулярен BC. Т.к. пирамида правильная, то высота, проведенная из вершины А(например АН) будет перпендикулярна ВС. А так как треугольник правильный, то АН является также и медианой, то есть Н- середина ВС. Если АН перпендикулярна ВС, то плоскость SAH перпендикулярна ВС. Значит, любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ВС. Например, SA перпендикулярна BC. Тогда вариант 1 подходит. **Ответ: 1**