Задача 6: На рисунке треугольник ABC равносторонний, AE = ED = DF = FB = EF. Докажите, что треугольник CEF равносторонний.

1. Т.к. \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(AB = BC = CA\) и \(\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ\). 2. По условию, \(AE = ED = DF = FB = EF\). Обозначим длину каждого из этих отрезков за \(a\). 3. Тогда \(AB = AE + ED + DF + FB = 4a\). 4. Рассмотрим \(\triangle AEF\). В нем \(AE = EF = a\), следовательно, \(\triangle AEF\) равнобедренный с основанием \(AF\). 5. \(\angle AEF = 180^\circ - \angle AED - \angle FEB\). 6. Рассмотрим \(\triangle ADE\). В нем \(AE = ED = a\), следовательно, \(\triangle ADE\) равнобедренный с основанием \(AD\) и \(\angle EAD = \angle EDA\). 7. Так как \(\angle BAC = 60^\circ\), то \(\angle EAD = 60^\circ\), следовательно, \(\triangle ADE\) равносторонний, и \(\angle AED = 60^\circ\). 8. Аналогично, \(\triangle EFB\) равнобедренный, и \(\angle EFB = \angle EBF\). Также \(\angle ABC = 60^\circ\), следовательно, \(\triangle EFB\) равносторонний, и \(\angle FEB = 60^\circ\). 9. Тогда \(\angle AEF = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). 10. Следовательно, \(\triangle AEF\) равносторонний, и \(AF = AE = EF = a\). 11. Рассмотрим \(\triangle ADF\). \(AD = AE = a\) и \(DF = a\), тогда \(AD = DF = a\), и \(\triangle ADF\) равнобедренный. \(\angle DAF = 60^\circ\), то \(\triangle ADF\) равносторонний, \(AF = a\) и \(\angle AFD = 60^\circ\). 12. Итак, \(AE = EF = FB = a\) и \(AD = DE = EF = FB = a\). 13. Так как \(AC = BC = 4a\) и \(AE = BF = a\), то \(EC = CF = AC - AE = BC - BF = 3a\). 14. Рассмотрим \(\triangle CEF\). В нем \(CE = CF = 3a\), следовательно, он равнобедренный. Также \(EF = a\). 15. \(\angle ECF = \angle ACB - \angle ACE - \angle BCF = 60^\circ - \angle ACE - \angle BCF\). 16. Доказать, что треугольник \(CEF\) равносторонний, не получается, исходя из предоставленных данных. Он равнобедренный, но для доказательства, что он равносторонний, нужно доказать, что \(\angle CEF = \angle CFE = 60^\circ\), а это не следует напрямую из условия задачи. Требуется дополнительное обоснование или другая стратегия доказательства.