Задача 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM=7, MB=10, AN=5 и NC=9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.

Пусть (S_{ABC}) - площадь треугольника (ABC), а (S_{AMN}) - площадь треугольника (AMN). Дано: (AM = 7), (MB = 10), (AN = 5), (NC = 9), (S_{ABC} = 68). Необходимо найти (S_{AMN}). Используем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих общий угол: \[rac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}\] Найдем длины сторон (AB) и (AC): (AB = AM + MB = 7 + 10 = 17) (AC = AN + NC = 5 + 9 = 14) Теперь подставим известные значения в формулу отношения площадей: \[rac{S_{AMN}}{68} = \frac{7 \cdot 5}{17 \cdot 14}\] \[S_{AMN} = 68 \cdot \frac{35}{238}\] \[S_{AMN} = 68 \cdot \frac{5}{34}\] \[S_{AMN} = 2 \cdot 5\] \[S_{AMN} = 10\] Ответ: 10