Задача 4: На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что AF : FB = 1 : 4, BE : EC = 1 : 3. Выразите вектор $$\vec{EF}$$ через векторы $$\vec{AB} = \vec{a}$$ и $$\vec{AD} = \vec{b}$$.

Решение: 1. Выразим вектор $$\vec{AF}$$ через вектор $$\vec{AB}$$. Поскольку $$AF : FB = 1 : 4$$, то $$AF = \frac{1}{5} AB$$. Значит, $$\vec{AF} = \frac{1}{5} \vec{a}$$. 2. Выразим вектор $$\vec{AE}$$ через векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$. Так как $$BE : EC = 1 : 3$$, то $$BE = \frac{1}{4} BC$$. Значит, $$\vec{BE} = \frac{1}{4} \vec{AD} = \frac{1}{4} \vec{b}$$. Тогда $$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$$. 3. Выразим вектор $$\vec{EF}$$ через векторы $$\vec{EA}$$ и $$\vec{AF}$$. Имеем $$\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AF} = -\vec{AE} + \vec{AF} = -(\vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}) + \frac{1}{5} \vec{a} = -\vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{5} \vec{a} = -\frac{4}{5} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$$. Ответ: $$\vec{EF} = -\frac{4}{5} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$$