Задача 5: Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Решение: 1. Вспомним формулу для косинуса угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. 2. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{m})$. Так как $\vec{m} \perp \vec{n}$, то $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. Также, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$, поэтому $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 1$ и $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1$. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 - 0 + 6 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$. 3. Найдем модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $|\vec{a}|^2 = (\vec{n} + 2\vec{m})^2 = \vec{n}^2 + 4(\vec{n} \cdot \vec{m}) + 4\vec{m}^2 = 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 5$, значит $|\vec{a}| = \sqrt{5}$. $|\vec{b}|^2 = (3\vec{n} - \vec{m})^2 = 9\vec{n}^2 - 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) + \vec{m}^2 = 9 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 1 = 10$, значит $|\vec{b}| = \sqrt{10}$. 4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$. Ответ: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{10}$