Задача 10: Найдите $$\frac{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}$$, если $$tg \alpha = -2,5$$.

Для решения задачи нам дано выражение: $$\frac{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}$$ И известно, что $$\tan \alpha = -2.5 = -\frac{5}{2}$$. Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$: $$\frac{10 + 4\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 15\frac{1}{\cos \alpha}}{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 5 + 3\frac{1}{\cos \alpha}} = \frac{10 + 4\tan \alpha + \frac{15}{\cos \alpha}}{2\tan \alpha + 5 + \frac{3}{\cos \alpha}}$$ Но этот метод не сильно упрощает задачу. Давайте попробуем выразить $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ через $$\tan \alpha$$: Известно, что $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$. Также, $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$. Выразим $$\sin \alpha$$ через $$\cos \alpha$$: $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$$. Подставим в основное тригонометрическое тождество: $$(\tan \alpha \cdot \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + 1) = 1$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha + 1}$$ $$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{\tan^2 \alpha + 1}}$$ Так как $$\tan \alpha = -2.5$$, то $$\tan^2 \alpha = 6.25$$. $$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{6.25 + 1}} = \pm \frac{1}{\sqrt{7.25}} = \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{29}{4}}} = \pm \frac{2}{\sqrt{29}}$$ Теперь найдем $$\sin \alpha$$: $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -2.5 \cdot \left( \pm \frac{2}{\sqrt{29}} \right) = \mp \frac{5}{\sqrt{29}}$$ Подставим $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ в исходное выражение: $$\frac{10\left( \pm \frac{2}{\sqrt{29}} \right) + 4\left( \mp \frac{5}{\sqrt{29}} \right) + 15}{2\left( \mp \frac{5}{\sqrt{29}} \right) + 5\left( \pm \frac{2}{\sqrt{29}} \right) + 3} = \frac{\pm \frac{20}{\sqrt{29}} \mp \frac{20}{\sqrt{29}} + 15}{\mp \frac{10}{\sqrt{29}} \pm \frac{10}{\sqrt{29}} + 3} = \frac{15}{3} = 5$$ Таким образом, ответ: 5.