Задача 2: Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности $$r$$ = 4 см.

Давайте решим вторую задачу. Нам дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c = 26$$ см и радиусом вписанной окружности $$r = 4$$ см. Нужно найти периметр этого треугольника. Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676$$ Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ Подставим известные значения: $$4 = \frac{a + b - 26}{2}$$ $$8 = a + b - 26$$ $$a + b = 34$$ Теперь у нас есть два уравнения: 1) $$a^2 + b^2 = 676$$ 2) $$a + b = 34$$ Выразим $$b$$ из второго уравнения: $$b = 34 - a$$. Подставим это в первое уравнение: $$a^2 + (34 - a)^2 = 676$$ $$a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676$$ $$2a^2 - 68a + 480 = 0$$ $$a^2 - 34a + 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-34)^2 - 4 * 1 * 240 = 1156 - 960 = 196$$ $$a_1 = \frac{34 + \sqrt{196}}{2} = \frac{34 + 14}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ $$a_2 = \frac{34 - \sqrt{196}}{2} = \frac{34 - 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ Если $$a = 24$$, то $$b = 34 - 24 = 10$$. Если $$a = 10$$, то $$b = 34 - 10 = 24$$. В любом случае, катеты равны 10 см и 24 см. Периметр равен: $$P = a + b + c = 10 + 24 + 26 = 60$$ см Ответ: Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см.