Задача 1: Найдите радиус $$r$$ вписанной и радиус $$R$$ описанной окружности для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

Давайте решим первую задачу. Нам дан равнобедренный треугольник с основанием $$a = 10$$ см и боковыми сторонами $$b = 13$$ см. Сначала найдем радиус вписанной окружности $$r$$, а затем радиус описанной окружности $$R$$. 1. Радиус вписанной окружности $$r$$: Для начала найдем высоту $$h$$, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами $$h$$ и $$a/2 = 5$$ см, и гипотенузой $$b = 13$$ см. Используем теорему Пифагора: $$h^2 + (a/2)^2 = b^2$$ $$h^2 + 5^2 = 13^2$$ $$h^2 + 25 = 169$$ $$h^2 = 144$$ $$h = 12$$ см Теперь найдем площадь треугольника $$S$$: $$S = \frac{1}{2} * a * h = \frac{1}{2} * 10 * 12 = 60$$ см$$^2$$ Полупериметр треугольника $$p$$ равен: $$p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 * 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ см Радиус вписанной окружности $$r$$ вычисляется по формуле: $$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$$ см Итак, $$r = \frac{10}{3}$$ см. 2. Радиус описанной окружности $$R$$: Радиус описанной окружности $$R$$ вычисляется по формуле: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, $$S$$ - площадь треугольника. В нашем случае $$a = 10$$, $$b = 13$$, $$c = 13$$, $$S = 60$$. $$R = \frac{10 * 13 * 13}{4 * 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$$ см Итак, $$R = \frac{169}{24}$$ см. Ответ: Радиус вписанной окружности $$r = \frac{10}{3}$$ см. Радиус описанной окружности $$R = \frac{169}{24}$$ см.