Задача 2: Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 5.

Площадь поверхности прямой призмы состоит из площади двух оснований (ромбов) и площади боковой поверхности. 1. Найдем площадь основания (ромба): Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. \[S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] где (d_1) и (d_2) - диагонали ромба. В нашем случае, (d_1 = 9) и (d_2 = 12), следовательно: \[S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\] Так как у нас два основания, общая площадь оснований: \[2 \cdot S_{ромба} = 2 \cdot 54 = 108\] 2. Найдем сторону ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Таким образом, половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник со сторонами \(\frac{9}{2} = 4.5\) и \(\frac{12}{2} = 6\). Сторона ромба является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: \[a = \sqrt{(4.5)^2 + 6^2} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5\] 3. Найдем площадь боковой поверхности: Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную стороне ромба, а другую - боковому ребру призмы. \[S_{бок} = P_{ромба} \cdot h\] где (P_{ромба}) - периметр ромба, (h) - высота призмы (боковое ребро). Периметр ромба: \[P_{ромба} = 4 \cdot a = 4 \cdot 7.5 = 30\] Тогда: \[S_{бок} = 30 \cdot 5 = 150\] 4. Найдем общую площадь поверхности призмы: \[S_{полн} = 2 \cdot S_{ромба} + S_{бок} = 108 + 150 = 258\] **Ответ: 258**