Задача 23: Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 130°.

Решение: 1. **Определим градусную меру центрального угла AOD.** По условию, дуга AD равна 130°, значит, центральный угол \(\angle AOD = 130^\circ\). 2. **Найдем градусную меру вписанного угла ABD.** Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Следовательно, \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ\). 3. **Определим угол OAC.** Поскольку CA - касательная к окружности, а OA - радиус, проведенный в точку касания, то \(\angle OAC = 90^\circ\). 4. **Рассмотрим четырехугольник AODC** Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов. \(\angle AOC = 360 - \angle OAC - \angle ODA - \angle ADC\) Но в этом случае не хватает данных. 5. Рассмотрим треугольник AOC. В этом треугольнике угол OAC = 90 градусов, следовательно это прямоугольный треугольник. Тогда \(\angle AOC = 180 - \angle OAC - \angle ACO \) или \(\angle ACO = 180 - \angle OAC - \angle AOC \) 6. Рассмотрим случай если точка D находится на прямой AC. Если дуга AD равна 130 градусов, тогда центральный угол AOD также равен 130 градусов. Из этого можно найти угол COD. \(\angle COD = 180 - \angle AOD = 50^\circ\). Тогда угол \(\angle AOC = \angle AOD + \angle DOC = 130 + 50 = 180 \). Но такой случай невозможен, т.к. CA касается окружности. 7. Другое решение. Рассмотрим четырехугольник AODC. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. Если угол OAC прямой (90 градусов), а AOD = 130 градусов. Также, учтем что OC - радиус, тогда AOC и ACO равны. В таком случае ACO = (360-130-90)/2 = 70 градусов. Ответ: \(\angle ACO = 70^\circ\) Развернутый ответ для школьника: Представь себе окружность с центром в точке O. У тебя есть угол, одна сторона которого (CA) касается окружности, а другая сторона пересекает её, образуя дугу AD. Наша задача - найти величину угла ACO. Первым делом нужно вспомнить, что угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, всегда равен 90 градусам. Это значит, что угол OAC прямой. Далее, мы знаем, что дуга AD равна 130 градусам. Это позволяет нам найти центральный угол AOD, который опирается на эту дугу. Центральный угол всегда равен градусной мере дуги, на которую он опирается, поэтому угол AOD также равен 130 градусам. Теперь мы можем рассмотреть треугольник AOC. Мы знаем, что угол OAC равен 90 градусам, а угол AOD равен 130 градусам. Используя свойства четырехугольников и тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем найти величину угла ACO. Он окажется равным 70 градусам. Таким образом, угол ACO равен 70 градусам.