Задача 22: Постройте график функции y = 3|x+8| - x² - 14x - 48. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение: 1. Преобразуем функцию: \(y = 3|x+8| - x^2 - 14x - 48\) \(y = 3|x+8| - (x^2 + 14x + 48)\) \(y = 3|x+8| - (x+6)(x+8)\) 2. Рассмотрим два случая: * Если \(x \ge -8\), то \(|x+8| = x+8\): \(y = 3(x+8) - (x+6)(x+8)\) \(y = (x+8)(3 - (x+6))\) \(y = (x+8)(-x-3)\) \(y = -(x+8)(x+3)\) * Если \(x < -8\), то \(|x+8| = -(x+8)\): \(y = -3(x+8) - (x+6)(x+8)\) \(y = (x+8)(-3 - (x+6))\) \(y = (x+8)(-x-9)\) \(y = -(x+8)(x+9)\) 3. Определим точки пересечения с осью x: * Для \(x \ge -8\), \(y = -(x+8)(x+3)\): Парабола с вершиной в точке \(x = -5.5\). Нули функции: \(x = -8\) и \(x = -3\). * Для \(x < -8\), \(y = -(x+8)(x+9)\): Парабола с вершиной в точке \(x = -8.5\). Нули функции: \(x = -8\) и \(x = -9\). 4. Найдем координаты вершины параболы для \(x \ge -8\). \(x_в = \frac{-8 + (-3)}{2} = -5.5\) \(y_в = -(-5.5+8)(-5.5+3) = -(2.5)(-2.5) = 6.25\) Найдем координаты вершины параболы для \(x < -8\). \(x_в = \frac{-8 + (-9)}{2} = -8.5\) \(y_в = -(-8.5+8)(-8.5+9) = -(-0.5)(0.5) = 0.25\) 5. Анализ: График функции состоит из двух парабол, соединенных в точке \(x = -8\). Для того чтобы прямая \(y = m\) имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить либо через вершину одной из парабол, либо через точку соединения парабол (в данном случае, это точка \((-8, 0)\)). Прямая \(y = 0\) пересекает в трех точках (-9, -8, -3). Прямая \(y = 6.25\) пересекает в трех точках. 6. Ответ: \(m = 0\) и \(m = 6.25\) Развернутый ответ для школьника: Представь себе, что у нас есть сложная функция, состоящая из двух частей, которые ведут себя немного по-разному в зависимости от того, какое значение принимает x. Задача состоит в том, чтобы определить, при каких значениях m, горизонтальная линия y = m пересекает график нашей функции ровно в трех точках. Чтобы это сделать, нужно сначала понять, как выглядит график функции. Мы разбиваем функцию на две части: одну, когда x больше или равно -8, и другую, когда x меньше -8. Каждая из этих частей является параболой (графиком квадратной функции), которая имеет свою форму и положение на координатной плоскости. Далее нужно найти вершины этих парабол и точки, где они соединяются. Вершины – это самые высокие (или самые низкие) точки на каждой параболе, а точка соединения – это место, где две части графика встречаются. Прямая y = m будет иметь три общие точки с графиком, если она проходит через вершину одной из парабол или через точку их соединения. В нашем случае это происходит при m = 0 (когда прямая проходит через точку соединения) и при m = 6.25 (когда прямая проходит через вершину одной из парабол). Таким образом, ответ: m = 0 и m = 6.25.