Задача 11: Окружность с радиусом 4, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что DE = 8, а AD – большее основание.

Решение: 1. **Обозначения и ключевые факты:** * Пусть O – центр окружности, r – радиус (r = 4). * ABCD – равнобедренная трапеция, следовательно, AB = BC. * Окружность вписана в трапецию, поэтому суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. * Так как трапеция равнобедренная, AB = BC, следовательно, CD = AD. * Окружность касается CD в точке E, и DE = 8. Значит, CE = DE = 8 (по свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности). * Таким образом, CD = DE + CE = 8 + 8 = 16. * Так как CD = AD, то AD = 16. 2. **Найдем AB (меньшее основание):** * Так как в трапецию вписана окружность, то AB + CD = AD + BC, и AB = BC (равнобедренная трапеция). * Тогда AB + 16 = 16 + AB. Отсюда следует, что AB + CD = AD + BC. Это свойство нам говорит, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + AD = 2*CD * AD = 16, CD=16. AB + 16 = 2*8 * Пусть AB = x. Тогда x + 16 = 2*16 = 32 * x = 32 - 16 * x = 16 - Это не верно. Так как AD - большее основание. Должно быть AD>AB. AD=16, CD=16 AB+CD = AD+BC. AB+16 = 16 + BC. AB=BC=x. Следовательно сумма боковых сторон равна CD + AB=2CD=2AD, 16+x=32. x=32-16 = 16 - тогда трапеция квадрат. это значит условие не верно. 3. **Высота трапеции:** * Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности: h = 2r = 2 * 4 = 8. 4. **Площадь трапеции:** * Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = ( (AD + AB) / 2 ) * h. * S = ( (16 + 0) / 2 ) * 8 = 8*8 = 64. Ответ: 64. Проверь условие задания, так как меньшее основание 0, а большее 16. Трапеция вырождена.