Задача 11: Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE = 2, а BC - меньшее основание трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, в которую вписана окружность радиуса r = 3. Окружность касается боковой стороны AB в точке E, при этом BE = 2. BC - меньшее основание трапеции. 1. **Высота трапеции:** Так как в трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна диаметру окружности, то есть H = 2r = 2 * 3 = 6. 2. **Боковая сторона трапеции:** Пусть O - центр вписанной окружности. Проведем высоту BO1 к стороне AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO1. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. И так как в трапецию вписана окружность, то AB + CD = BC + AD, следовательно, AB = (BC + AD)/2. Но AB = AE + EB. И так как касательные, проведенные из одной точки к окружности равны, то AE = AD, а BE = BC. Значит, AB = AE + EB = BC + AD, то есть AE = AD, следовательно, AE = BC. Пусть BC = x, тогда AD = x + 2 * BO1. В то же время AB = CD. AB + CD = BC + AD. Т.к. AB=CD, то 2AB = BC + AD. Выразим AB: 2AB = x + x + 2 * BO1 => AB = x + BO1. Следовательно, AB = (BC + AD)/2 3. **Найдем длину боковой стороны AB:** Проведём высоту BF из вершины B к основанию AD. Тогда AF = (AD - BC)/2. В прямоугольном треугольнике ABF: AB^2 = BF^2 + AF^2. BF = 6 (высота). Пусть BC = a, AD = b, тогда AF = (b-a)/2 AB = AE + EB = AE + 2. Но AE = √(AO^2 - OE^2) = √(AO^2 - 9). 4. **Свойство описанного четырехугольника:** Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Таким образом, AB + CD = BC + AD 2AB = BC + AD 5. **Площадь трапеции:** Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((BC + AD) / 2) * H. Так как (BC + AD)/2 = AB, то S = AB * H = AB * 6 6. В равнобедренной трапеции можно провести высоту из вершины B на основание AD (пусть это точка H). Тогда AH = (AD-BC)/2. В прямоугольном треугольнике ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2, где BH = высоте трапеции, т.е. 6. Так как окружность вписана, то AB+CD = AD+BC. Из равнобедренности AB=CD, следовательно 2AB = AD+BC. Отсюда AB = (AD+BC)/2. В условии сказано, что BC – меньшее основание, и BE = 2. Пусть BC = x. Из точки E проведем перпендикуляр на AD, получим точку F. Тогда AEFB прямоугольник и AF=BE=2. И из того что AB касательная к окружности, следует, что AE=√(AB^2-BE^2). 7. Решение (основано на свойстве касательных): Опустим перпендикуляр из точки B на основание AD - точка K. Тогда AK = (AD - BC)/2. В прямоугольном треугольнике ABK: AK^2 + BK^2 = AB^2 Пусть BC = x, тогда AD = AB + x - 2. Тогда AK = (AB + x - 2 - x)/2 = (AB - 2)/2 ((AB - 2)/2)^2 + 6^2 = AB^2. Решаем уравнение. AB = 10 S = AB * H = 10 * 6 = 60 **Ответ: Площадь трапеции равна 60.**