Задача 293.2. Октаэдр — это фигура, состоящая из двух пирамид с квадратными основаниями, склеенных по основаниям. От каждой вершины деревянного октаэдра отпилили маленький кусочек так, что место спила имеет форму четырёхугольника. Сколько у получившегося тела a) рёбер; б) граней?

Решение: Октаэдр состоит из двух пирамид с квадратным основанием, соединенных основаниями. Изначально: - Вершин: 6 (4 в основании и 2 вершины пирамид) - Рёбер: 12 (4 ребра в каждом основании и 4 ребра от каждой вершины к основанию) - Граней: 8 (4 грани у каждой пирамиды) Когда от каждой вершины отпиливают кусочек, образуется новая грань в форме четырёхугольника на месте каждой вершины. Так как вершин 6, то появляется 6 новых граней. Когда мы срезаем вершину, каждое ребро, выходящее из этой вершины, разделяется на 2. Таким образом, у каждой вершины, которую мы срезаем, образуется 4 новых ребра (по одному на каждую сторону четырехугольника). а) Рёбра: Изначально было 12 ребер. Срезаем 6 вершин, и каждая вершина создает 4 новых ребра. Следовательно, добавляется 6 * 4 / 2 = 12 ребер (делим на 2, так как каждое ребро принадлежит двум вершинам) Однако, после срезания вершины старые ребра разрезаются, и старое ребро заменяется двумя новыми. Общее количество ребер = 12 + 12 = 24. б) Грани: Изначально было 8 граней. Срезаем 6 вершин, и каждая вершина создает 1 новую грань. Следовательно, становится 8 + 6 = 14 граней. Ответ: a) 24 ребра б) 14 граней