Задача 3: Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение: 1. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора, сторона ромба равна: \[a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\] 2. Найдем площадь основания (ромба): \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2\] 3. Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $$45^{\circ}$$. Обозначим меньшую диагональ параллелепипеда как $$d_{пар}$$. Тогда высота параллелепипеда $$h$$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является $$d_{пар}$$, а углом между гипотенузой и плоскостью основания является $$45^{\circ}$$. Тогда: \[\sin(45^{\circ}) = \frac{h}{d_{пар}}\] Также проекцией $$d_{пар}$$ на основание является меньшая диагональ ромба (10 см). По теореме Пифагора для параллелепипеда: \[d_{пар}^2 = h^2 + 10^2\] Так как угол $$45^{\circ}$$, то $$h = 10$$ см (треугольник равнобедренный). 4. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 10 = 52 \cdot 10 = 520 \text{ см}^2\] 5. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна: \[S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760 \text{ см}^2\] Ответ: 760 см²