Задача 1: Основанием пирамиды $$MABCD$$ является квадрат $$ABCD$$, ребро $$MD$$ перпендикулярно к плоскости основания, $$AD = DM = a$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение: 1. Основание пирамиды – квадрат $$ABCD$$ со стороной $$a$$. Площадь основания $$S_{осн} = a^2$$. 2. $$MD$$ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, $$MD$$ – высота пирамиды. $$MD = a$$. 3. Рассмотрим треугольник $$MDC$$. Он прямоугольный, так как $$MD$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$. $$MD = a$$, $$DC = a$$. Тогда $$MC = \sqrt{MD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$. 4. Рассмотрим треугольник $$MDA$$. Он прямоугольный, так как $$MD$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$. $$MD = a$$, $$DA = a$$. Тогда $$MA = \sqrt{MD^2 + DA^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$. 5. Рассмотрим треугольник $$MAB$$. $$MA = MB = a\sqrt{2}$$, $$AB = a$$. Высота $$MH$$ этого треугольника равна: $$MH = \sqrt{MA^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - (a/2)^2} = \sqrt{2a^2 - a^2/4} = \sqrt{7a^2/4} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$$. 6. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей треугольников $$MDA$$, $$MDC$$, $$MAB$$ и $$MBC$$. Площади треугольников $$MDA$$ и $$MDC$$ равны, так как они прямоугольные и имеют равные катеты. Площадь треугольников $$MAB$$ и $$MBC$$ равны, так как пирамида правильная. Тогда: $$S_{бок} = 2 \cdot S_{MDA} + 2 \cdot S_{MAB} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot MD \cdot AD) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH) = a^2 + a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$$. 7. Площадь полной поверхности пирамиды $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = 2a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = a^2(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}) = \frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$$. Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна $$\frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$$. **Ответ: $$\frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$$**