Задача 1: Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $MD$ перпендикулярно к плоскости основания, $AD = DM = a$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение: 1. Основание пирамиды – квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн} = a^2$. 2. $MD$ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, $MD$ – высота пирамиды. $MD = a$. 3. Рассмотрим треугольник $MDC$. Он прямоугольный, так как $MD$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. $MD = a$, $DC = a$. Тогда $MC = \sqrt{MD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 4. Рассмотрим треугольник $MDA$. Он прямоугольный, так как $MD$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. $MD = a$, $DA = a$. Тогда $MA = \sqrt{MD^2 + DA^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 5. Рассмотрим треугольник $MAB$. $MA = MB = a\sqrt{2}$, $AB = a$. Высота $MH$ этого треугольника равна: $MH = \sqrt{MA^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - (a/2)^2} = \sqrt{2a^2 - a^2/4} = \sqrt{7a^2/4} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$. 6. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей треугольников $MDA$, $MDC$, $MAB$ и $MBC$. Площади треугольников $MDA$ и $MDC$ равны, так как они прямоугольные и имеют равные катеты. Площадь треугольников $MAB$ и $MBC$ равны, так как пирамида правильная. Тогда: $S_{бок} = 2 \cdot S_{MDA} + 2 \cdot S_{MAB} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot MD \cdot AD) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH) = a^2 + a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$. 7. Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = 2a^2 + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = a^2(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}) = \frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$. Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна $\frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$. **Ответ: $\frac{a^2(4 + \sqrt{7})}{2}$**