Задача 2: Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$, стороны которого равны $a\sqrt{2}$ и $2a$, острый угол равен $45^\circ$. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: a) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

Решение: a) Меньшая высота параллелограмма: Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами: $S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$ и $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$, где $a$ и $b$ – стороны параллелограмма, $\alpha$ – угол между ними, $h_a$ и $h_b$ – высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно. В нашем случае $a = a\sqrt{2}$, $b = 2a$, $\alpha = 45^\circ$. Тогда площадь параллелограмма равна: $S = a\sqrt{2} \cdot 2a \cdot sin(45^\circ) = a\sqrt{2} \cdot 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2a^2$. Теперь найдем высоты. Меньшая высота будет проведена к большей стороне. Следовательно, нужно найти высоту, проведенную к стороне $2a$: $h = \frac{S}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$. Меньшая высота параллелограмма равна $a$. **Ответ: $a$** б) Угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания: Пусть $BH$ – высота параллелограмма, опущенная на сторону $AD$. Тогда $BH = a$ (меньшая высота). Так как параллелепипед прямой, то $BB_1 \perp (ABCD)$. Рассмотрим треугольник $BHB_1$. Он прямоугольный, $BH = a$, $BB_1 = a$ (так как высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма). $tg(\angle BHB_1) = \frac{BB_1}{BH} = \frac{a}{a} = 1$. Следовательно, $\angle BHB_1 = 45^\circ$. Угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания равен $45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$** в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда: Периметр основания: $P = 2(a\sqrt{2} + 2a) = 2a(\sqrt{2} + 2)$. Высота параллелепипеда равна $a$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h = 2a(\sqrt{2} + 2) \cdot a = 2a^2(\sqrt{2} + 2)$. **Ответ: $2a^2(\sqrt{2} + 2)$** г) Площадь поверхности параллелепипеда: Площадь основания $S_{осн} = 2a^2$ (как было найдено в пункте а)). Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2a^2(\sqrt{2} + 2) + 2 \cdot 2a^2 = 2a^2(\sqrt{2} + 2) + 4a^2 = 2a^2\sqrt{2} + 4a^2 + 4a^2 = 2a^2\sqrt{2} + 8a^2 = 2a^2(\sqrt{2} + 4)$. **Ответ: $2a^2(\sqrt{2} + 4)$**