Задача 17: Основания трапеции равны 12 и 68, одна из боковых сторон равна 50, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{2\sqrt{66}}{25}\). Найдите площадь трапеции.

**Решение:** 1. **Определим, какой угол дан.** Так как дан косинус угла между боковой стороной и *одним из оснований*, то это угол при большем основании, поскольку именно к нему прилежит известная боковая сторона. 2. **Найдем проекцию боковой стороны на большее основание.** Пусть проекция равна x. Тогда: \(\cos{\alpha} = \frac{x}{50} = \frac{2\sqrt{66}}{25}\) \(x = 50 \cdot \frac{2\sqrt{66}}{25} = 4\sqrt{66}\) 3. **Найдем высоту трапеции (h).** Используем теорему Пифагора: \(h^2 = 50^2 - x^2 = 50^2 - (4\sqrt{66})^2 = 2500 - 16 \cdot 66 = 2500 - 1056 = 1444\) \(h = \sqrt{1444} = 38\) 4. **Найдем площадь трапеции (S).** Используем формулу: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), где a и b - основания трапеции. \(S = \frac{12+68}{2} \cdot 38 = \frac{80}{2} \cdot 38 = 40 \cdot 38 = 1520\) **Ответ:** Площадь трапеции равна 1520.