Задача 10: От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 208 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей скорости первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $v$ – скорость первого теплохода (в км/ч). Тогда скорость второго теплохода равна $v + 3$ км/ч. Первый теплоход был в пути время $t$ часов, а второй теплоход – время $t - 3$ часа. Расстояние между пристанями равно 208 км. Так как оба теплохода прошли это расстояние, можем записать уравнения: Для первого теплохода: $v cdot t = 208$ Для второго теплохода: $(v + 3)(t - 3) = 208$ Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: $\begin{cases} vt = 208 \\ (v + 3)(t - 3) = 208 \end{cases}$ Раскроем скобки во втором уравнении: $vt - 3v + 3t - 9 = 208$ Так как $vt = 208$, можем заменить $vt$ в этом уравнении на 208: $208 - 3v + 3t - 9 = 208$ Упростим уравнение: $-3v + 3t - 9 = 0$ Разделим уравнение на 3: $-v + t - 3 = 0$ Выразим $t$ через $v$: $t = v + 3$ Теперь подставим $t = v + 3$ в первое уравнение $vt = 208$: $v(v + 3) = 208$ Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: $v^2 + 3v = 208$ $v^2 + 3v - 208 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D$ равен: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-208) = 9 + 832 = 841$ Теперь найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{841}}{2} = \frac{-3 + 29}{2} = \frac{26}{2} = 13$ $v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{841}}{2} = \frac{-3 - 29}{2} = \frac{-32}{2} = -16$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 13$ км/ч. Ответ: 13