Задача 22: Постройте график функции $$y = \frac{(x^2+3x) cdot |x|}{x+3}$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Сначала упростим функцию: $$y = \frac{(x^2+3x) cdot |x|}{x+3} = \frac{x(x+3) cdot |x|}{x+3}$$ При $$x
eq -3$$ (так как знаменатель не может быть равен нулю), можно сократить $$(x+3)$$: $$y = x|x|$$ Теперь рассмотрим два случая: 1. Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и $$y = x^2$$. 2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и $$y = -x^2$$. Таким образом, функция имеет вид: $$y = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$$ Точка $$x=-3$$ является точкой разрыва, и в ней функция не определена. Найдем значение функции при $$x = -3$$ до упрощения: Так как $$\lim_{x \to -3} \frac{x(x+3)|x|}{x+3} = x|x|$$, то в точке $$x = -3$$ будет выколотая точка: $$y = (-3)|-3| = (-3)(3) = -9$$. Теперь построим график функции. Это парабола $$y = x^2$$ для $$x \geq 0$$ и парабола $$y = -x^2$$ для $$x < 0$$, с выколотой точкой в $$x = -3$$, $$y = -9$$. Прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции, если $$m = -9$$. Ответ: $$m = -9$$