Задача 1. Постройте на координатной плоскости прямые АВ и CD, если А(-2; 4), B(1; 1), C(2; -4), D(4; 2) и найдите ее точку их пересечения.

Ответ: Точка пересечения прямых AB и CD: (2, 0)

Задача 1. Построение прямых и нахождение точки пересечения

• Шаг 1: Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(-2, 4) и B(1, 1).
• Шаг 2: Используем формулу для нахождения уравнения прямой по двум точкам:

\[\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

• Подставляем координаты точек A и B:

\[\frac{y - 4}{x - (-2)} = \frac{1 - 4}{1 - (-2)}\]\[\frac{y - 4}{x + 2} = \frac{-3}{3}\]\[\frac{y - 4}{x + 2} = -1\]

• Шаг 3: Преобразуем уравнение:

\[y - 4 = -1(x + 2)\]\[y - 4 = -x - 2\]\[y = -x + 2\]

• Итак, уравнение прямой AB: \(y = -x + 2\)
• Шаг 4: Теперь найдем уравнение прямой CD, проходящей через точки C(2, -4) и D(4, 2).
• Шаг 5: Используем ту же формулу:

\[\frac{y - (-4)}{x - 2} = \frac{2 - (-4)}{4 - 2}\]\[\frac{y + 4}{x - 2} = \frac{6}{2}\]\[\frac{y + 4}{x - 2} = 3\]

• Шаг 6: Преобразуем уравнение:

\[y + 4 = 3(x - 2)\]\[y + 4 = 3x - 6\]\[y = 3x - 10\]

• Итак, уравнение прямой CD: \(y = 3x - 10\)
• Шаг 7: Теперь найдем точку пересечения прямых AB и CD, решив систему уравнений:

\[\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 3x - 10 \end{cases}\]

• Шаг 8: Приравняем правые части уравнений:

\[-x + 2 = 3x - 10\]\[4x = 12\]\[x = 3\]

• Шаг 9: Подставим значение \(x\) в любое из уравнений, например, в уравнение прямой AB:

\[y = -3 + 2\]\[y = -1\]

• Шаг 10: Точка пересечения прямых AB и CD: (3, -1)

Ответ: Точка пересечения прямых AB и CD: (3, -1)