Задача 1. Прямая MA⊥α, BK∈α, MK⊥BK, MA = 30, MK = 34, BK = 12. Найдите длину отрезка AB.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник MKA. Он прямоугольный, так как MA перпендикулярна плоскости α, следовательно, MA перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности MK. По теореме Пифагора найдем AK:

$$AK = \sqrt{MK^2 + MA^2} = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = \sqrt{256} = 16$$

2) Рассмотрим треугольник BKA. Он прямоугольный, так как MK⊥BK. По теореме Пифагора найдем AB:

$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$

Ответ: 20