Задача 14: Рабочие прокладывают тоннель длиной 87 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

Пусть ( a_1 ) - количество метров тоннеля, проложенных в первый день, ( d ) - ежедневное увеличение нормы прокладки, ( n ) - количество дней, а ( a_n ) - количество метров тоннеля, проложенных в последний день. Нам известно, что ( a_1 = 7 ), ( n = 6 ), а общая длина тоннеля равна 87 метрам. Общая длина тоннеля - это сумма арифметической прогрессии, которую можно выразить формулой: \[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\] В нашем случае, ( S_n = 87 ), ( n = 6 ), и ( a_1 = 7 ). Подставим эти значения в формулу: \[87 = \frac{6(7 + a_6)}{2}\] Упростим уравнение: \[87 = 3(7 + a_6)\] Разделим обе части на 3: \[29 = 7 + a_6\] Выразим ( a_6 ): \[a_6 = 29 - 7\] \[a_6 = 22\] Таким образом, в последний день рабочие проложили 22 метра тоннеля. Ответ: 22