Задача 10: Рабочий приклеивал плитку к полу и заметил, что часть площади ему приходится заполнять обрезками плитки. Он провёл несколько опытов и обнаружил, что: 60 плиток достаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 3 квадратных метра, но недостаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 4 квадратных метра; 90 плиток достаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 5 квадратных метров, но недостаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 6 квадратных метров; 160 плиток достаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 9 квадратных метров, но недостаточно, чтобы покрыть пол в комнате площадью 10 квадратных метров. 1) Определите границы площади одной плитки по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ при необходимости округлите до тысячных долей квадратного метра. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения площади плитки будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить площадь одной плитки с наибольшей точностью, найдите массу одной плитки и оцените её погрешность. Считайте массу одного квадратного метра полотна, из которого изготовлена плитка, \( \sigma = 12 \text{ кг/м}^2 \) известной точно. Ответ округлите до сотых долей килограмма. Напишите полное решение этой задачи.

Решение: 1. Определение границ площади одной плитки для каждого эксперимента: * Первый эксперимент (60 плиток): Нижняя граница: $$\frac{3 \text{ м}^2}{60 \text{ плиток}} = 0.05 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Верхняя граница: $$\frac{4 \text{ м}^2}{60 \text{ плиток}} = 0.06666... \text{ м}^2/\text{плитка} \approx 0.067 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Таким образом, площадь плитки находится в диапазоне от 0.05 до 0.067 м². * Второй эксперимент (90 плиток): Нижняя граница: $$\frac{5 \text{ м}^2}{90 \text{ плиток}} = 0.05555... \text{ м}^2/\text{плитка} \approx 0.056 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Верхняя граница: $$\frac{6 \text{ м}^2}{90 \text{ плиток}} = 0.06666... \text{ м}^2/\text{плитка} \approx 0.067 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Таким образом, площадь плитки находится в диапазоне от 0.056 до 0.067 м². * Третий эксперимент (160 плиток): Нижняя граница: $$\frac{9 \text{ м}^2}{160 \text{ плиток}} = 0.05625 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Верхняя граница: $$\frac{10 \text{ м}^2}{160 \text{ плиток}} = 0.0625 \text{ м}^2/\text{плитка}$$ Таким образом, площадь плитки находится в диапазоне от 0.05625 до 0.0625 м². 2. Оценка точности определения площади плитки: Точность определения площади плитки будет выше в третьем эксперименте, так как диапазон значений площади плитки наименьший (от 0.05625 до 0.0625 м²). 3. Определение массы одной плитки и её погрешности: Наиболее точное значение площади плитки, полученное из третьего эксперимента, находится в диапазоне от 0.05625 до 0.0625 м². Возьмем среднее значение для оценки: $$S = \frac{0.05625 + 0.0625}{2} = 0.059375 \text{ м}^2$$ Округлим до 0.059 м$$^2$$. Масса одного квадратного метра плитки \( \sigma = 12 \text{ кг/м}^2 \). Масса одной плитки: $$m = S \cdot \sigma = 0.059 \text{ м}^2 \cdot 12 \text{ кг/м}^2 = 0.708 \text{ кг}$$ Оценка погрешности: Разница между максимальным и минимальным значениями площади в третьем эксперименте: $$\Delta S = 0.0625 - 0.05625 = 0.00625 \text{ м}^2$$ Погрешность массы: $$\Delta m = \Delta S \cdot \sigma = 0.00625 \text{ м}^2 \cdot 12 \text{ кг/м}^2 = 0.075 \text{ кг}$$ Таким образом, масса плитки составляет 0.708 кг с погрешностью 0.075 кг. Округлим массу плитки до сотых долей килограмма: 0.71 кг Ответ: 0.71 кг