Задача 6. Решите уравнение \(\frac{3}{x+2}+2=\frac{-15}{x^2-3x-10}.\)

Решим уравнение \(\frac{3}{x+2}+2=\frac{-15}{x^2-3x-10}.\)

Разложим знаменатель правой части на множители:

\(x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)\)

Тогда уравнение можно переписать как \(\frac{3}{x+2}+2=\frac{-15}{(x-5)(x+2)}\)

Приведем к общему знаменателю \((x-5)(x+2)\):

\(\frac{3(x-5)}{(x+2)(x-5)} + \frac{2(x+2)(x-5)}{(x+2)(x-5)} = \frac{-15}{(x-5)(x+2)}\)

Умножим обе части уравнения на \((x-5)(x+2)\), при условии, что \(x
eq -2\) и \(x
eq 5\)

\(3(x-5) + 2(x+2)(x-5) = -15\)

\(3x - 15 + 2(x^2 - 5x + 2x - 10) = -15\)

\(3x - 15 + 2(x^2 - 3x - 10) = -15\)

\(3x - 15 + 2x^2 - 6x - 20 = -15\)

\(2x^2 - 3x - 35 = -15\)

\(2x^2 - 3x - 20 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169\)

\(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{3 \pm 13}{4}\)

\(x_1 = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4\)

\(x_2 = \frac{3 - 13}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\)

Оба корня удовлетворяют условиям \(x
eq -2\) и \(x
eq 5\)

Ответ: -2,5; 4