Задача 10: Семиклассника Юру попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковые монеты и мерный цилиндр. Для проведения опыта Юра налил в цилиндр воду до уровня 56 мл, а затем стал кидать туда монетки, отмечая уровень воды и соответствующее количество монеток. Опустив в стакан 5 монеток, Юра заметил, что уровень воды расположился между отметками в 58 и 59 миллилитров; при 9 монетках между 60 и 61 мл, а при 24 монетках между 66 и 67 мл. На основании полученных Юрой результатов ответьте на следующие вопросы. 1) По результатам каждого из измерений определите объём монетки и опените погрешность определения объёма монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения объёма монетки будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить объём монетки с наибольшей точностью, найдите массу одной монетки и опените её погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно.

Решение: 1) Вычислим объём одной монетки по каждому из измерений: - 5 монеток: Объём 5 монеток между 58 - 56 = 2 мл и 59 - 56 = 3 мл. Средний объём 2.5 мл. Объём одной монетки: $$V_1 = \frac{2.5}{5} = 0.5$$ мл. Погрешность: $$\frac{3-2}{2} = 0.5$$, значит погрешность $$\pm 0.1$$ мл - 9 монеток: Объём 9 монеток между 60 - 56 = 4 мл и 61 - 56 = 5 мл. Средний объём 4.5 мл. Объём одной монетки: $$V_2 = \frac{4.5}{9} = 0.5$$ мл. Погрешность: $$\frac{5-4}{2} = 0.5$$, значит погрешность $$\pm 0.06$$ мл - 24 монетки: Объём 24 монетки между 66 - 56 = 10 мл и 67 - 56 = 11 мл. Средний объём 10.5 мл. Объём одной монетки: $$V_3 = \frac{10.5}{24} = 0.4375$$ мл. Погрешность: $$\frac{11-10}{2} = 0.5$$, значит погрешность $$\pm 0.02$$ мл 2) Наибольшая точность определения объёма монетки будет в эксперименте с 24 монетами, так как погрешность измерения наименьшая $$(\pm 0.02$$ мл). 3) Используем результат измерения с 24 монетами: $$V_3 = 0.4375$$ мл. Плотность монетки $$\rho = 6.8$$ г/см$$^3$$ (или г/мл). Масса одной монетки: $$m = \rho * V = 6.8 * 0.4375 = 2.975$$ г. Погрешность в объеме 0.02 мл, соответсвенно: $$6.8 * 0.02 = 0.136$$ г. Ответ: Масса одной монетки примерно 2.975 г с погрешностью $$\pm 0.136$$ г.