Задача 15: Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен \(\frac{5}{6}\). Найдите ее большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.

Пусть ( ABCD ) - прямоугольная трапеция, где ( AB ) - высота, ( BC ) - меньшее основание, ( AD ) - большее основание. ( \angle CDA ) - острый угол. Из условия известно, что ( \tan(\angle CDA) = \frac{5}{6} ), ( BC = 15 ) и ( AB = 15 ). Проведем высоту ( CF ) к основанию ( AD ). Тогда ( AF = BC = 15 ). Рассмотрим прямоугольный треугольник ( CFD ). В этом треугольнике ( CF = AB = 15 ). Известно, что: \[ \tan(\angle CDA) = \frac{CF}{FD} \] Подставим известные значения: \[ \frac{5}{6} = \frac{15}{FD} \] Теперь найдем ( FD ): \[ FD = \frac{15 \cdot 6}{5} \] \[ FD = 3 \cdot 6 \] \[ FD = 18 \] Теперь мы можем найти большее основание ( AD ): \[ AD = AF + FD \] \[ AD = 15 + 18 \] \[ AD = 33 \] Таким образом, большее основание трапеции равно 33. Ответ: 33