Задача 3: Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-5; -1), N(0; 2), K(5; -1). а) Докажите, что ∆MNK – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины N.

**Решение:** **а) Доказательство, что ∆MNK – равнобедренный** Чтобы доказать, что треугольник MNK равнобедренный, нужно показать, что у него две стороны равны по длине. 1. **Найдем длину стороны MN:** Длина стороны MN равна расстоянию между точками M и N. Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}$$ Подставим координаты точек M(-5; -1) и N(0; 2): $$MN = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ 2. **Найдем длину стороны NK:** Аналогично, найдем длину стороны NK, используя координаты точек N(0; 2) и K(5; -1): $$NK = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ 3. **Найдем длину стороны MK:** Найдем длину стороны MK, используя координаты точек M(-5; -1) и K(5; -1): $$MK = \sqrt{(5 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = \sqrt{100} = 10$$ 4. **Сравнение длин сторон:** Мы видим, что MN = NK = $$\sqrt{34}$$, а MK = 10. Поскольку MN = NK, треугольник MNK – равнобедренный. **б) Найдите высоту, проведенную из вершины N.** 1. **Определим основание:** В равнобедренном треугольнике MNK с равными сторонами MN и NK основанием является сторона MK. Поскольку треугольник равнобедренный и высота проведена к основанию, она также является медианой. Это означает, что высота делит основание MK пополам. 2. **Найдем координаты середины основания MK:** Пусть H – середина MK. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $$x_H = (x_M + x_K) / 2$$ $$y_H = (y_M + y_K) / 2$$ Подставим координаты точек M(-5; -1) и K(5; -1): $$x_H = (-5 + 5) / 2 = 0$$ $$y_H = (-1 + (-1)) / 2 = -1$$ Таким образом, координаты точки H(0; -1). 3. **Найдем длину высоты NH:** Высота NH – это расстояние между точками N(0; 2) и H(0; -1). Используем формулу расстояния между двумя точками: $$NH = \sqrt{(x_H - x_N)^2 + (y_H - y_N)^2}$$ Подставим координаты точек N(0; 2) и H(0; -1): $$NH = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$$ **Ответ:** а) Треугольник MNK – равнобедренный. б) Высота, проведенная из вершины N, равна 3.