Задача 9: У трикутнику ABC: BH висота, ∠ABH = 30°, BC = 12 см, CH = 3√7 см. Знайдіть довжину AH.

Розглянемо трикутник BHC. Він прямокутний, оскільки BH - висота. За теоремою Піфагора, $$BH^2 + CH^2 = BC^2$$. Підставимо відомі значення: $$BH^2 + (3\sqrt{7})^2 = 12^2$$ $$BH^2 + 9 cdot 7 = 144$$ $$BH^2 + 63 = 144$$ $$BH^2 = 144 - 63 = 81$$ $$BH = \sqrt{81} = 9$$ см.

Розглянемо трикутник ABH. Він також прямокутний. Ми знаємо, що ∠ABH = 30°. Використаємо тангенс кута ABH: $$\tan(30°) = \frac{AH}{BH}$$. Ми знаємо, що $$\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Тоді: $$rac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AH}{9}$$ $$AH = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$ см.

Відповідь: AH = 3√3 см.