Задача 5: Ученический карандаш состоит из основной части длиной b = 18 см и ластика длиной а = 1,8 см. Вася решил уравновесить карандаш на краю стола, как показано на рисунке. При этом оказалось, что равновесие нарушается, когда конец ластика выступает на расстояние x = 9 см за край стола. 1) Во сколько раз объём ластика меньше, чем объём основной части карандаша? 2) Найдите отношение масс ластика и основной части карандаша. 3) Определите по этим данным среднюю плотность основной части карандаша (без ластика), если средняя плотность ластика 2 г/см³.

Решим задачу про карандаш.

1. Во сколько раз объём ластика меньше, чем объём основной части карандаша?

   Предположим, что и ластик, и основная часть карандаша имеют цилиндрическую форму с одинаковой площадью поперечного сечения. Тогда отношение объёмов равно отношению их длин:

   $$\frac{V_{ластика}}{V_{карандаша}} = \frac{a}{b} = \frac{1.8 см}{18 см} = 0.1$$

   Таким образом, объём ластика в 10 раз меньше объёма основной части карандаша.

2. Найдите отношение масс ластика и основной части карандаша.

   Для решения этой части задачи используем условие равновесия карандаша на краю стола. Момент силы тяжести ластика относительно точки опоры равен моменту силы тяжести основной части карандаша:

   $$m_{ластика} * g * x = m_{карандаша} * g * (\frac{b}{2} - x)$$

   где $$x$$ - расстояние, на которое выступает ластик, $$b$$ - длина основной части карандаша.

   Сокращаем g и выражаем отношение масс:

   $$\frac{m_{ластика}}{m_{карандаша}} = \frac{\frac{b}{2} - x}{x} = \frac{\frac{18}{2} - 9}{9} = \frac{9-9}{9} = 0$$

   Таким образом, отношение масс равно 0. Это означает, что масса ластика пренебрежимо мала по сравнению с массой карандаша.

3. Определите по этим данным среднюю плотность основной части карандаша (без ластика), если средняя плотность ластика 2 г/см³.

   Обозначим:

   • $$\rho_{л} = 2 \frac{г}{см^3}$$ - плотность ластика
   • $$\rho_{к}$$ - плотность основной части карандаша
   • $$V_{л}$$ - объем ластика
   • $$V_{к}$$ - объем основной части карандаша
   • $$m_{л}$$ - масса ластика
   • $$m_{к}$$ - масса основной части карандаша

   Мы знаем, что $$\frac{m_{ластика}}{m_{карандаша}} = 0$$, то есть $$m_{ластика} = 0$$

   Масса ластика равна: $$m_{л} = \rho_{л} * V_{л}$$. Так как $$m_{л} = 0$$, то либо $$\rho_{л} = 0$$, либо $$V_{л} = 0$$. Но плотность ластика нам известна (2 г/см³), значит, $$V_{л} = 0$$.

   Это означает, что масса ластика пренебрежимо мала, следовательно, данные для расчета средней плотности основной части карандаша недостаточны.

   Однако, если пренебречь массой ластика при условии равновесия, то можно считать, что центр масс основной части карандаша находится на расстоянии 9 см от края стола. Но это не дает нам информации о плотности.

Ответы:

1. Объём ластика в 10 раз меньше объёма основной части карандаша.
2. Отношение масс ластика к основной части карандаша равно 0.
3. Данных недостаточно для определения средней плотности основной части карандаша.