Задача 4: В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M, MB = 10 см, AM = 12 см, DC = 23 см. Найти CM и DM.

Дано: Две хорды AB и CD пересекаются в точке M. MB = 10 см, AM = 12 см, DC = 23 см.

Найти: CM и DM.

Решение:

1. При пересечении двух хорд окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, AM * MB = CM * MD.
2. Пусть CM = x, тогда MD = DC - CM = 23 - x.
3. Подставим известные значения в уравнение: 12 * 10 = x * (23 - x).
4. 120 = 23x - x².
5. x² - 23x + 120 = 0.
6. Решим квадратное уравнение:
$$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 * 1 * 120 = 529 - 480 = 49$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{49}}{2} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{49}}{2} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
7. Таким образом, CM может быть равен 15 см или 8 см.
8. Если CM = 15 см, то DM = 23 - 15 = 8 см.
9. Если CM = 8 см, то DM = 23 - 8 = 15 см.