Задача 3: В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD = 30°, AD = 12 см.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, AC ⊥ CD, ∠CAD = 30°, AD = 12 см.

Найти: S_ABCD

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC ⊥ CD, то треугольник ACD – прямоугольный.
2. В прямоугольном треугольнике ACD катет CD лежит против угла CAD, равного 30 градусам. Следовательно, CD = 1/2 * AD.
3. CD = 1/2 * 12 = 6 см.
4. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то AB = CD = 6 см.
5. Проведём высоту CH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.
6. В прямоугольном треугольнике ACH угол CAH = углу CAD = 30 градусам. Значит, CH = AC * sin(30°).
7. Найдём AC по теореме Пифагора для треугольника ACD: AC² + CD² = AD²
8. AC² = AD² - CD² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108
9. AC = √108 = 6√3 см.
10. CH = AC * sin(30°) = 6√3 * (1/2) = 3√3 см.
11. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((AD + BC) / 2) * CH
12. В равнобедренной трапеции BC = AD - 2 * AH, где AH – проекция боковой стороны на большее основание.
13. AH = AC * cos(30°) = 6√3 * (√3/2) = 9 см.
14. BC = AD - 2 * AH = 12 - 2 * (AD - √(AB²-CH²)) = 12-2*(12-√(6²-(3√3)²)) = 12-2*3 = 6.
15. S = ((12+6)/2) * 3√3 = (18/2) * 3√3 = 9 * 3√3 = 27√3 см².