Задача 9: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 21°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. **Обозначения и анализ**: Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = x. 2. **Треугольник ADC**: Рассмотрим треугольник ADC. В нём CD = x, AC = 2x, и ∠ACD = 21°. 3. **Применение теоремы синусов**: Применим теорему синусов к треугольнику ADC: \(\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}\) \(\frac{x}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2x}{\sin(\angle ADC)}\) \(\sin(\angle ADC) = 2 \sin(\angle CAD)}\) 4. **Свойства параллелограмма**: В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, ∠ABC = ∠ADC, и ∠BAD = ∠BCD. Также, ∠CAD = ∠BAC. 5. **Углы при параллельных прямых**: Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠ACD = 21°. Таким образом, ∠CAD = 21°. 6. **Вычисление угла ADC**: Теперь мы можем найти \(\sin(\angle ADC)\): \(\sin(\angle ADC) = 2 \sin(21^\circ) \approx 2 \cdot 0.358 = 0.716\) \(\angle ADC = \arcsin(0.716) \approx 45.77^\circ\) 7. **Сумма углов параллелограмма**: Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то: \(\angle BAD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 45.77^\circ \approx 134.23^\circ\) 8. **Угол между диагоналями**: Пусть O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник AOD. Угол ∠DAO = ∠DAC = 21°. Угол ∠ADO = \(\frac{1}{2}\) ∠ADC = \(\frac{1}{2}\) * 45.77° ≈ 22.89°. Тогда угол ∠AOD (угол между диагоналями) равен: \(\angle AOD = 180^\circ - (21^\circ + 22.89^\circ) = 180^\circ - 43.89^\circ \approx 136.11^\circ\) 9. **Меньший угол между диагоналями**: Меньший угол между диагоналями равен: \(180^\circ - 136.11^\circ \approx 43.89^\circ\) Ответ: 44 Округление до целого числа: 44 градуса.