Задача 15. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 15, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть изначально было $x$ мышей и $y$ головок сыра. В первую ночь мыши съели 8 головок сыра, и каждая мышь съела $\frac{8}{x}$ головок сыра. Во вторую ночь пришли 15 мышей, и каждая мышь съела в 4 раза меньше, чем в первую ночь, то есть $\frac{8}{4x} = \frac{2}{x}$ головок сыра. Всего сыра было $y$ головок, и после первой ночи осталось $y - 8$ головок. Значит, 15 мышей съели $y-8$ головок сыра, и каждая мышь съела $\frac{y-8}{15}$ головок сыра. Тогда можно составить уравнение: $\frac{y-8}{15} = \frac{2}{x}$ $x = \frac{30}{y-8}$ Так как количество мышей должно быть целым числом, $y-8$ должно быть делителем числа 30. Возможные делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Тогда возможные значения для $y$: 9, 10, 11, 13, 14, 18, 23, 38. Если $y = 9$, то $x = 30$. Если $y = 10$, то $x = 15$. Если $y = 11$, то $x = 10$. Если $y = 13$, то $x = 6$. Если $y = 14$, то $x = 5$. Если $y = 18$, то $x = 3$. Если $y = 23$, то $x = 2$. Если $y = 38$, то $x = 1$. По условию задачи, в первую ночь мыши съели 8 головок сыра, а во вторую ночь пришли 15 мышей. Значит, $x > 15$. Тогда подходит только вариант $y = 9$ и $x = 30$. Но если было 30 мышей, то каждая съела $\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ в первую ночь. Во вторую ночь каждая съела в 4 раза меньше, то есть $\frac{1}{15}$, и пришли 15 мышей, которые съели 1 головку. Тогда всего было 9 головок сыра, съели 8, осталась одна, и 15 мышей съели одну, и каждая съела $\frac{1}{15}$. Все сходится. Значит, изначально в погребе хранилось **9 головок сыра**.