Задача 3: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите: a) стороны ΔABC; б) отношение, в котором CD делит площадь треугольника ABC.

Решение: a) 1. Пусть CD = x, тогда BD = x + 4. Так как CD - высота, то CD является средним пропорциональным между AD и BD: $CD^2 = AD \cdot BD$ $x^2 = 9(x + 4)$ $x^2 = 9x + 36$ $x^2 - 9x - 36 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = (-9)^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225$ $x_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Следовательно, CD = 12 см, BD = 12 + 4 = 16 см. 2. Найдем AB: AB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см. 3. Найдем AC и BC по теореме Пифагора в треугольниках ACD и BCD: $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$ $BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$ б) Найдем площадь треугольников ADC и BDC. $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2$ $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2$ $\frac{S_{ADC}}{S_{BDC}} = \frac{54}{96} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$ Ответ: a) $AB = 25 \text{ см}, AC = 15 \text{ см}, BC = 20 \text{ см}$ б) $\textbf{\frac{9}{16}}$