Задача 2: В прямоугольном треугольнике ABC высота BH, проведенная из вершины прямого угла B, делит гипотенузу на два отрезка AH = 36 см и CH = 25 см. Найдите: a) BH, AB, BC; б) $S_{ABH} : S_{CBH}$

Решение: a) 1. Найдем BH. В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между отрезками, на которые гипотенуза делится этой высотой. То есть: $BH = \sqrt{AH \cdot CH} = \sqrt{36 \cdot 25} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$ 2. Найдем AB. В прямоугольном треугольнике ABH, AB является гипотенузой. По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 36^2 + 30^2 = 1296 + 900 = 2196$ $AB = \sqrt{2196} = 6\sqrt{61} \text{ см}$ 3. Найдем BC. В прямоугольном треугольнике CBH, BC является гипотенузой. По теореме Пифагора: $BC^2 = CH^2 + BH^2 = 25^2 + 30^2 = 625 + 900 = 1525$ $BC = \sqrt{1525} = 5\sqrt{61} \text{ см}$ б) Найдем отношение площадей треугольников ABH и CBH. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В данном случае высота BH общая для обоих треугольников. $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH$ $S_{CBH} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH$ $\frac{S_{ABH}}{S_{CBH}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH} = \frac{AH}{CH} = \frac{36}{25}$ Ответ: a) $BH = 30 \text{ см}, AB = 6\sqrt{61} \text{ см}, BC = 5\sqrt{61} \text{ см}$ б) $\textbf{\frac{36}{25}}$